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第229章 蛮星之主一（第6页）

?由于卷积是一种积分，它是线性的，或者遵循分配律：

f×（αg1+βg2）=αf*g1+βf*g2

?此外，它是交换的：

f*g=∫f（x）g（x-xdx=∫f（x-x）g（x）dx=g*f

?和结合的：

f*（g1*g2）=（f*g1）*g2

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就像正常的乘法一样。

此外，两个函数的卷积也是一个函数，就像数字乘法一样，两个数字相乘的结果也是一个数字。

要证明这些，只需明确写下积分。

前两个从微积分的规则中立即得出。

最后一个需要函数在某种程度上行为良好，允许我们改变积分顺序，但对于物理相关的函数，这通常是这样的。

然而，这不是一个完美的等价。

一个（大）问题是定义逆，即卷积类比的a^（?1），使得a×a^（?1）=1。

换句话说，我们如何“去卷积”

两个函数？这个问题通常是不适定的。

更多关于这个的讨论在下面。

但另一个问题是身份。

我们需要一些起到乘以1的作用的东西。

我们知道f（x）×1=f（x），对任何f都成立，但哪个函数I（x）满足：f（x）*I（x）=f（x）？

δ函数的筛选性质（方程11），你应该认识到它是以卷积的形式写的。

δ函数在将两个函数进行卷积时充当恒等算子。

换句话说，δ函数有点像1。

这种联系并非凭空而来。

我们可以在傅里叶变换的背景中看到这种暗示。

δ函数可以通过傅里叶变换表示。

我们可以看到傅里叶表示的形式是取1的逆傅里叶变换：

方程13:

δ（x-x）=2π^-1∫-∞∞e^iω（x-x）dω=2π^-1∫-∞∞1*e^iω（x-x）dω

卷积和内积

在回到格林函数之前，我上面提到，我们的类比到正常乘法的限制是缺乏明确定义的逆。

我们可以通过卷积最常见的应用“移动平均”

或低通滤波器来了解这一点。

例如，让我们拿一张图片并与高斯函数进行卷积。

使用高斯卷积对金毛犬进行低通滤波

对图像进行二维卷积通常会使其明显模糊。

消除一些模糊并非不可能（反卷积是图像处理中的一个老话题），在实践中，卷积的滤波效果将高分辨率信息映射为零。

在线性代数的语言中，存在非平凡的零空间，所以这个运算是不可逆的。

虽然它不是数字正常乘积的完美类比，但卷积确实符合向量内积的所有条件。

在不将这变成一整套线性代数课程的情况下，内积是我们三维空间中常规向量点积的概括。