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第229章 蛮星之主一（第5页）

它在$x=0$处取值为无穷大，而在其他地方取值为$0$。

$delta$函数的主要用途是对某些集中在一点或一瞬的物理量进行描述，例如质点的质量、电荷集中在一点，或者脉冲在一瞬间的作用等。

虽然$delta$函数在常规的函数定义下并不满足连续可微等性质，但可以通过分布理论或广义函数的概念来理解和处理。

在数学中，$delta$函数常用于积分、微分方程和卷积等问题中。

例如，对于在$x=0$处有集中质量的线性弹簧系统，其位移可以表示为$int_{-infty}^{infty}f（x）delta（x）dx$，其中$f（x）$是作用力。

需要注意的是，$delta$函数的具体形式和定义可能因应用领域和具体问题而有所不同。

在实际使用中，需要根据具体情况选择合适的定义和处理方法。

总的来说，$delta$函数是一种抽象的数学工具，用于描述和处理集中在一点或一瞬的物理现象或数学问题。

它在许多领域都有广泛的应用。

以及

方程10:δ（x≠x）=0

δ函数最重要的特性是与函数一起积分时的“筛选性质”

方程11:

∫f（x）δ（x-x）dx=f（x）

这是直观的，因为我们可以将δ函数表示为高斯或正弦函数的极限。

当$delta$趋近于$0$时，高斯函数和正弦函数的极限情况如下：

对于高斯函数，它通常表示为$e^{-frac{x^2}{2sigma^2}}$，其中$sigma$是标准差。

当$delta$趋近于$0$时，高斯函数在$x=0$处的取值趋近于$1$，并且在其他点的取值趋近于$0$。

这是因为当$delta$很小时，高斯函数的峰值变得非常尖锐，而在远离峰值的地方函数值迅速下降。

对于正弦函数，它通常表示为$sin（x）$。

当$delta$趋近于$0$时，正弦函数在$x=0$处的取值为$0$，并且在其他点的取值呈现周期性的变化。

具体的变化模式取决于$x$的取值，但一般来说，正弦函数在相邻的峰值和谷值之间的变化是平滑的。

需要注意的是，这里的描述是在一般情况下的简化说明。

在具体问题中，可能需要更详细的分析和具体的参数值来确定函数的极限行为。

此外，极限的结果还可能受到其他因素的影响，如函数的定义域、边界条件等。

总的来说，当$delta$趋近于$0$时，高斯函数呈现出尖锐的峰值，而正弦函数呈现出周期性的变化。

这些特征在不同的应用中可能具有重要的意义，例如在概率论、信号处理或物理学等领域。

上面介绍了高斯序列表示的函数

和正弦序列（sinxx）表示δ函数

在这里，我们将采取不同的视角，专注于筛选性质。

为此，我需要介绍卷积（convolutions）。

卷积是两个函数之间的积分，我们称它们为f（x）和g（x），但我们通过某个量将其中一个函数偏移，我们将其称为x。

方程12:

f×g=∫f（x）g（x-x）dx

它们是将两个函数“混合”

在一起的方式，在信号处理中发挥着基础作用，并因此扩展到机器学习，你可能听说过卷积神经网络。

对于这个讨论，让我们将卷积视为一种函数的乘法方式。

我将声称，卷积就像数字的正常乘法。

我们可以通过查看一些性质来强调这一点。

?由于卷积是一种积分，它是线性的，或者遵循分配律：